Home reading. Axioms

Задания.

1. Прочтите текст и составьте к нему план в форме вопросов.
2. Скажите, какую новую информацию вы извлекли из данного текста.

Axioms

Ever since the time of Euclid, 2.200 years ago, mathematicians have tried to begin with certain statements called "axioms” and then deduce from them all sorts of useful conclusions.

Еще со времен Евклида (2.200 лет назад) математика начинается с определенных утверждений, аксиом, на основе которых делаются разного рода полезные выводы.

In some ways it is almost like a game with two rules. First, the axioms must be as few as possible. If you can deduce one axiom from the others, that deduced axiom must be dropped. Second, the axioms must be self-consistent. It must never be possible to deduce two conclusions from the axioms with one the negative of the other.

В какой-то степени это почти что игра с двумя правила. Первое правило: аксиом должно быть как можно меньше. Так, если аксиому можно вывести из других аксиом, ее уже нельзя использовать. Второе правило: аксиомы должны быть логичны. Нельзя допускать одновременного существования двух выводов, следующих из аксиом и противоречащих друг другу.

Any high school geometry book begins with a set of axioms: that through any two points only one straight line can be drawn; that the whole is equal to the sum of the parts, and so on. For a long time, it was assumed that Euclid’s axioms were the only ones that could build up a self-consistent geometry to that they were "true”.

Любой вузовский учебник по геометрии начинается с набора аксиом: через любые две точки можно провести только одну прямую линию; целое равно сумме частей и т.д. В течение долгого времени считалось, что только аксиомы Евклида способны выстроить логику геометрии, и поэтому они «верны».

In the 19^th century, however, it was shown that Euclid’s axioms could be changed in certain ways and that different "non-Euclidean geometries” could be build up as a result. Each geometry was different from the others, but each was self-consistant. After that it made no sense to ask which was "true”. One asked instead which was useful.

Однако в 19 веке было показано, что аксиомы Евклида можно определенным образом изменить, и это привело к созданию «неевклидовых геометрий».

In fact there are many sets of axioms out of which a self-consistent system of mathematics could be built; each one different, each one self-consistent.

Фактически существует много наборов аксиом, на основе которых можно выстроить логически последовательную математическую теорию, при этом каждая полученная теория будет логична и отлична от других теорий.

In any such system of mathematics you must not be able to deduce from its axioms that something is both so and not-so, for then the mathematics would not be self-consistent and would have to be scrapped. But what if you make a statement that you can’t prove to be either so or not-so?

В любой математической теории из аксиом не могут следовать противоречивые выводы, иначе в математике не будет логики, и тогда ее надо выбрасывать за негодностью. Но что делать, если получается выражение, о котором вы не можете сказать, верно оно или нет?

Suppose, that I say: "The statement I am now making is false”.

Допустим, я скажу: «Утверждение, к которому я пришел, ложно».

Is it false? If it is false that I am saying something false and I must be saying something true. But if I am saying true that I am saying something false, and I am indeed saying something false. I can go back and forth forever. It is impossible to show that what I have said is either so or not-so.

Действительно ли оно ложно? Если оно ложно, и я говорю, что оно ложно, я, должно быть, говорю правду. А если я говорю правду, когда утверждаю, что что-то ложно, я на самом деле говорю ложь. Я могу вечно вот так топтаться на одном месте. Невозможно показать, является ли правдой или ложью то, что я сказал.

Suppose you adjust the axioms of logic to eliminate the possibility of my making statements like that. Can you find some other way of making such neither-so-not-so statements?

Предположим, вы работаете над логикой аксиом, чтобы исключить возможность утверждений, описанных выше. Можете ли вы указать другие способы нахождения утверждений типа ни так, ни эдак?

In 1931, an Austrian mathematician, Kurt Godel presented a valid proof that showed that for any set of axioms you can make statements that cannot be shown to be so from those axioms and yet cannot be shown to be not-so either. In that sense, it is impossible to work out, ever, a set of axioms from which you can deduce a complete mathematical system.

В 1931 году австрийский математик Курт Годель привел веское доказательство того, что противоречивые выводы возможны для любого набора аксиом. В этом смысле невозможно разработать аксиомы, на основе которых можно было бы построить целостную математическую теорию.

Does that mean that we can never find "truth”? Not at all. First: Just because a mathematical system isn’t complete doesn’t mean that what it does contain is false. Such a system can still be extremely useful provided we do not try to use it beyond its limits.

Означает ли это, что мы никогда не сможем найти «правду»? Вовсе нет. Во-первых, то, что математическая система не совершенна, не значит, что то, что в ней есть, неверно. Такая система может оказаться чрезвычайно полезной при условии, что мы не будет использовать ее там, где этого делать нельзя.

Second: Godel’s proof applies only to deductive systems of the types used in mathematics. But deduction is not the only way to discover "truth”. No axioms can allow us to deduce the dimensions of the solar system. Those dimensions were obtained by observations and measurements – another rout to "truth”.