Урок 5. Points and Lines. Exercises

Упражнения к уроку 5 "Points and Lines"

Упражнение 4. Найдите в тексте эквиваленты следующих слов и словосочетаний:

1. Служить моделями геометрических фигур; serve as models of the geometric figures
2. чертеж; drawing
3. множество точек; set of points
4. подмножество; subset
5. отрезок; line segment
6. простираться, продолжаться; extend
7. в любом направлении; in both directions (in each direction)
8. луч; ray
9. отличаться от…; differ from.

Упражнение 5. Определите, к какой части речи относятся подчеркнутые слова. Переведите предложения на русский язык.

1. We know of the earth moving around the sun. (Gerund. complex)

Мы знаем, что земля движется вокруг солнца.

2. Measuring land is impossible without special instruments. (Gerund)

Невозможно измерить участок земли без специальных инструментов.

3. While measuring the length of a segment one must use a ruler. (Participle I)

Для изменения длины отрезка необходимо использовать линейку.

4. He is defining the volume of a geometrical object. (Participle I)

Он дает определение объема геометрического тела.

5. The teacher spoke of defining volumes. (Gerund)

Учитель говорил о том, как определять объемы.

6. They are concerned with applying their knowledge of the subject to solving this problem. (Gerund, Gerund)

Они думают о том, как применить знания по данному предмету к решению этой проблемы.

7. By applying your knowledge of the property of closure you can make the following conclusions. (Gerund, adjective)

Используя ваши знания о свойстве замыкания (линии), вы можете сделать следующие выводы.

8. Geometry presented practical ways for obtaining information about the size and shape of various objects. (Gerund)

Геометрия дала практические способы получения информации о размере и форме различных тел.

9. Seeing, feeling, or moving a point is impossible since it has no dimensions. (Gerund)

Увидеть, ощутить или передвинуть точку невозможно, т.к. она не имеет размеров.

10. By moving a ruler on the plane we can draw various geometric figures. (Gerund)

Перемещая линейку по плоскости, мы можем нарисовать различные геометрические фигуры.

11. Now I am extending the given line to the left and to the right. (Participle I)

Сейчас я продляю данную линию влево и вправо.

12. Some round object serving as a model of the earth was shown to them. (Participle I)

Им показали некоторый круглый объект, служащий моделью земли.

Упражнение 6. Найдите в тексте предложения, объясняющие, что такое линия, отрезок, луч.

Line:

The edge of a ruler, or an edge of this page is a model of a line. We have agreed to use the word "line” to mean a straight line. … It has length, but no thickness and no width…

A line extends indefinitely in each of its directions.

Line segment:

A line segment is a set of endpoints and all the points on the line between them. A line segment has definite length.

Ray:

A ray has indefinite length and only one endpoint, a vertex.

Упражнение 7. Назовите слова, от которых образованы следующие производные:

1. Extension, extend, extensible (растяжимый), extendible (= extensible), extensibility (растяжимость), extended (растянутый).
2. Indication, indicative (указывающий), indicated (указанный), indicate, indicator (указатель), indicatory [In'dIkqt(q)rI] (указательный).
3. Measurable (измеримый), measure, measurably (до известной степени), measured (измеренный), measureless (безмерный), measurement (замер), measurer (средство измерения).
4. Differently (по-другому), difference (различие), differ, different (отличный), differentia ["dIfq'renSIq] (отличительное свойство), differential (дифференциал), differentiate ["dIfq'renSIeIt] (разграничивать, дифференцировать), differentiation (разграничение, дифференциация).
5. Continuous (непрерывный), continuity (непрерывность), continued (продолженный), continue, continuance (длительность, продолжение), continual (непрерывный), continuant (фрикативный согласный звук), continuation (продолжение).

Упражнение 8. Найдите сказуемое в следующих предложениях. Переведите следующие предложения на русский язык.

1. In the last chapter we were concerned mainly with the properties of individual lines. Now we shall consider relationship among various lines and planes in space.

В предыдущей главе мы рассматривали преимущественно свойства отдельных прямых. Сегодня мы рассмотрим связь различных прямых и плоскостей в пространстве.

2. Some of the most basic properties will be stated in the postulates.

Некоторые основные свойства будут представлены в виде аксиом.

3. Given any two points, there is exactly one line that contains both of them.

Если взять любые две точки, существует только одна прямая, включающая обе эти точки.

4. With this postulate we can prove the following theorem.

С учетом этой аксиомы мы может доказать следующую теорему.

5. Models that can be applied to many different phenomena are of particular value.

Модели, которые могут применяться в различных случаях, представляют особенную ценность.

6. When considering a model, we are concerned not with whether that model is a complete accurate picture of the physical situation, but with whether the model gives us useful information.

Рассматривая модель, мы думаем не о том, представляет ли эта модель точное изображение реальности, а о том, дает ли она нам полезную информацию.

7. In this section you will see how coordinate systems can be used to devise surprisingly simple proofs of geometric theorem.

В этой главе вы увидите, как системы координат могут быть использованы для построения удивительно простых доказательств теорем геометрии.

8. This is obvious because each base is a cross section.

Это очевидно, т.к. каждое основание представляет собой сечение.

9. It is understood that the vertices, sides, and angles or a polygonal region are those of the polygon that is the boundary.

Понятно, что вершины, стороны и углы области, заключенной внутри ломаной, есть вершины, стороны и углы ломаной, являющейся границей указанной области.

10. You should note that a right circular cone is analogous to a regular pyramid. It can be proved that the foot of the altitude of a right circular cone is the centre of the base circle.

Вы должны запомнить, что правосторонний круглый конус является аналогом правильной пирамиды. Можно доказать, что основание высоты правостороннего круглого конуса является центром окружности, лежащей в его основании.

Упражнение 9. Сгруппируйте слова по частям речи.

Usually, dimensions, geometric, indefinitely, agreement, location, geometrically, straight, thickness, wide, width, measurement, length, direction, vertex, representation.

Упражнение 10. Скажите, правильны ли следующие утверждения:

1. A geometric line is a real thing and not an idea, as it has length, thickness and width. (F., it has no thickness and width, it is not a real thing, but a model)

2. We can extend a line indefinitely in both directions. (T)

3. There is no difference between a line and a line segment, is there? (Yes, there is – разница есть)

4. There is no special name for the endpoint of a ray, is there? (Yes, there is – есть имя; it is a vertex)

5. Since a ray has two endpoints, it can’t be extended in any direction. (F, it has one endpoint and can be extended in one direction)

6. You can hardly find physical objects in the world around us from which you can develop geometric ideas. (F)

7. If two straight lines do not meet however far they are extended, they are sure to be parallel. (T)

8. We can draw an infinite number of lines (vertical lines) on a horizontal plane, can’t we? (Yes, we can)

Упражнение 11. Ответьте на следующие вопросы

1. Can you measure the length of a ray? – No, you cannot.

2. How many points does a line segment contain? (It contains two endpoints and indefinite number of points between these two endpoints)

3. Can a ray and a line segment have a common endpoint? – Yes, they can.

4. Has a line segment definite length? – Yes, it has.

5. Is a geometric figure formed by a set of points an abstract concept? Yes, it is.

6. Can such a geometric figure be seen? – Yes, it can be seen. For example, an edge of a ruler, and edge of a page.

7. From what do mathematicians develop their ideas?

Mathematicians develop their ideas from physical objects around us.

8. What do we mean when we use the word "line”?

We mean a straight line.

9. What do we usually use the letters of the alphabet for?

We use the letters of the alphabet to name points, lines, line segments, rays and so on.

10. What does a line segment consist of?

A line segment consists of two endpoints and a set of points between these two endpoints.

11. How does a line segment (a ray) differ from a line?

A line segment has a definite length (it has two endpoints), but a line doesn’t have a definite length.

A ray has one endpoint, but the line doesn’t have any endpoints.

12. What is a vertex?

A vertex is an endpoint of a ray.