Урок 2. Basic operations (exercises continuation)

Продолжение

Упражнение 14.

Прочтите текст и сформулируйте по-русски основные правила делимости.

In certain calculations in arithmetic, it is often of importance to be able to determine whether or not certain small numbers are factors of some certain number.

В некоторых арифметических вычислениях часто важно решить, можно ли разложить число на более мелкие множители.

In the case of some numbers, this can be determined by rules which we shall now develop.

В некоторых случаях это можно определить, руководствуясь правилами, о которых мы сейчас расскажем.

In other cases the factors can be determined by tables based upon these rules.

В других случаях указанные множители можно определить по таблицам, построенным на основе этих правил.

Some of the following rules are very simple, and the reasons for them more or less obvious.

Некоторые из нижеследующих правил очень просты, и они более или менее легко объяснимы.

Certain others are not so, and will be explained in some detail.

Другие не так просты, и на них мы остановимся подробнее.

Since 2 and 5 are factors of 10, they are factors of any multiple of 10.

Т.к. 2 и 5 множители 10, они также множители любого числа, кратного 10.

Also, as any number can be considered as a multiple of 10 plus its last figure, we have at once the following rules:

Кроме этого, если число рассматривается по основанию 10 плюс последняя цифра, приходим к следующим закономерностям:

1. If the last figure is even, the number is divisible by 2.

Если последняя цифра четная, число делится на 2.

2. If the last figure of any number is 0 or 5 the number is divisible by 5.

Если последняя цифра любого числа 0 или 5, число делится на 5.

Since 100 will contain 4 and 25 any multiple of 100 will contain 4 and 25.

Так как 100 раскладывается на сомножители 4 и 25, любое число, кратное 100, при разложении в своем составе будет содержать множители 4 и 25.

Also, any number is some multiple of 100 plus the number consisting of the last two figures.

Кроме этого, любое число можно представить по основанию 100 плюс последние две цифры.

Therefore, (следовательно)

3. If the number consisting of the last two figures of any given number is divisible by 4 or 25, the entire number is divisible by 4 or 25, respectively.

Если две последних цифры числа составляют число, которое делится на 4 или 25, все число будет делиться на 4 или 25 соответственно.

By a method similar to that just used for the factor 4 the following rule is also obtained:

Методом, подобным выше приведенному для множителя 4, можно получить следующее правило:

4. If the number represented by the last three figures of a given number is divisible by 8, the given number is divisible by 8.

Если последние три цифры заданного числа представляют  число, которое делится на 8, все число делится на 8.

Сonsider next divisibility by 9.

Рассмотрим далее деление на 9.

Since 10 = 9 + 1, any number of 10’s equals the same number of 9’s plus the same number of 1’s.

Так как 10 = 9 + 1, любое число, кратное 10, можно представить как сумму 9 и 1, взятую n раз.

Since 100=99+1, any number of 100’s equals the same number of 99’s plus the same number of 1’s; 1000 = 999 + 1, and any number of 1000’s equals the same number of 999’s plus the same number of 1’s, etc.

Так как 100=99+1, любое число, кратное 100, можно представить как сумму 99 и 1, взятую n раз; а любое число, кратное 1000, можно представить как сумму 999 и 1, взятую определенное количество раз, и т.д.

Also 9, 99, 999, etc., are each multiples of 9. Therefore, any number is some multiple of 9 plus the sum of its separate figures, and so is divisible by 9 if the sum of its figures is. Также 9, 99, 999 и т.д. являются кратными 9. Таким образом, любое число можно рассматривать как кратное 9 плюс сумма его цифр, при этом число делится на 9, если сумма его цифр составляет:

5. If the sum of the separate figures of any number is divisible by 9, the number is divisible by 9.

Если сумма отдельных цифр любого числа делится на 9, число делится на 9.

Now any number which contains 9 as a factor also contains 3 as a factor, and so if the sum of the figures of a number contains 9 it also contains 3. Therefore,

Далее, любое число, кратное 9, кратно 3. Следовательно,

6. If the sum of the figures of a number is divisible by 9 the number is divisible by 3.

Если сумма цифр любого числа кратна 9, число также кратно 3.

If any number is divisible by 2 and also by 3, it is divisible by 2*3=6. But if divisible by 2 it is even. Therefore,

Если число делится на 2 и на 3, оно делится и на 6. Если число делится на 2, оно кратное. Следовательно,

7. If any even number is divisible by 3 it is divisible by 6.

Если четное число делится на 3, оно делится и на 6.

By considering 10 = 11-1, 100=99+1, 999=1000-1, 10000=9999+1, and so on, alternating – 1 and +1 for the alternate multiples of 10, it can be shown by a method similar to that used for (5) that

Учитывая, что 10 = 11-1, 100=99+1, 999=1000-1, 10000=9999+1 и т.д. и чередуя -1 и +1 для разных чисел, кратных 10, можно показать методом, подобным методу, использованному в пункте 5, что

8. If the sum of the even-place figures of a number equals that of the odd-placed figures, or if the difference of the two sums is divisible by 11, the number is divisible by 11.

Если сумма цифр числа, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, или, если разность двух сумм делится на 11, число делится на 11.

Упражнение 15.

Прочтите текст и найдите предложения, выражающие основную мысль.

CLOSURE

In our work so far we have often combined two numbers by addition or multiplication to obtain a number.

До сих пор мы брали два числа, складывали их или умножали и получали новое число.

We have never doubted that we always do get a number because our experience is that we always do.

Мы никогда не сомневались в том, что мы получим число, потому что наш опыт свидетельствует об этом.

However, there are some primitive tribes who can count only to three.

Но существуют примитивные племена, которые могут считать только до трех.

Suppose you tried to teach such people to add.

Предположим, вы попытались научить этих людей складывать.

What would you tell them when you came to 2+2 and 2+3?

Что бы вы сказали им, когда вы дошли бы до 2+2 и 2+3?

Obviously, you would have to enlarge their set of numbers until the sum of any two numbers would be a number of the set.

Очевидно, вам пришлось бы расширять их набор чисел до тех пор, пока сумма двух любых чисел не составило бы число, включенное в указанный набор.

The set of all numbers of arithmetic is such a set.

Все числа в арифметике и есть подобный набор.

If you add any two of these numbers the sum is always a number of this set.

Если вы сложите любые два числа, сумма всегда будет представлять одно из чисел этого набора.

When a certain operation is performed on elements of a given subset of the numbers of arithmetic and the resulting number is always a member of the same subset, then we say that the subset is closed under the operation.

Когда выполняется определенная операция над элементами данного подмножества арифметических чисел, результирующее число всегда будет членом того же самого подмножества; и мы говорим, что подмножество закрытое для данной операции.

We say, therefore, that the set of numbers of arithmetic is closed under addition.

Таким образом, мы говорим, что набор арифметических чисел закрыт для сложения.

Likewise, since the product of any two numbers is always a number, the set of numbers is closed under multiplication.

Аналогично, т.к. результат любых двух чисел – всегда число, набор чисел закрыт для умножения.

Therefore, there exist the following two properties: closure property of addition and closure property of multiplication.

Таким образом, существуют следующие два свойства: закрытость свойства сложения и закрытость свойства умножения.

Упражнение 16.

Заполните пропуски подходящими по смыслу словами или выражениями.

1. The process of finding how many times one number is contained in a second number is called (division).
2. Any integer greater than 1 and having no divisors except itself and 1 is called a …(prime number – простое число).
3. The number from which another number is subtracted is called the … (minuend – уменьшаемое)
4. The process of finding the difference between two numbers by taking the smaller from the larger is called … (subtraction)
5. The process of finding the combined amount of 2 or more numbers is called  (addition)   and this combined amount is called the    (sum)             of several numbers.
6. The result of the operation of division is called the …(quotient)
7. Several numbers to be added may be grouped in any way desired according to the ….(commutative law for addition).
8. The result of the operation of multiplication is called the …(product)
9. The number which is divided by another number is called the …(the dividend)
10. The number by which the dividend is divideв is called the…(divisor)
11. The product of three or more numbers is the same regardless of the way in which the factors are grouped. This law is called the …(the commutative law for multiplication).

Упражнение 17. Заполните пропуски одним из глаголов, данных в скобках

1. When we …some numbers we find their sum (calculate, add, subtract).

2. A quotient is found if we… the first number by the second (subtact, divide, combine).

3. If a certain number is written down four times, one below the other, and the four equal numbers… the sum is four times that number (complete, add, continue).

4. The number 5 multiplied by the number 4… the number 20. (make, consider, carry out).

5. To find how many times one number… in the other it is necessary to divide them (contain, perform, write).

6. If we multiply one of the factors by the number 4 the product…four times greater (increase, become, decrease).

7. If we… the factors the product is not changed (give, depend, reverse).

8. The Commutative Law… for addition (interchange, hold, calculate).

Упражнение 18. Измените утвердительную конструкцию на вопросительную

1. There are many universities in Russia.
2. There will be much information on the subject in this journal.
3. There is a river and a forest in this area.
4. There was a lecture on maths yesterday.
5. There are 15 departments in Moscow University.
6. There were a few bad mistakes in his composition.
7. There will be an interesting exhibition at the museum next week.

Упражнение 19. Измените утвердительную конструкцию на отрицательную

1. There will be a seminar on mathematical analysis on Monday.
2. There are 2 underground stations near his house.
3. There were a few difficult words in this text.
4. There will be several pictures on the wall.
5. There is a department for cybernatics at our Institute.
6. There is heavy traffic in this street.

Упражнение 20. Переведите следующие предложения из действительного залога в страдательный по образцу.

We check subtraction by using addition. Subtraction is checked by using addition.

1. We hold our meetings in the assembly hall as a rule.
2. The Browns will take their children to school in a car.
3. He let the stranger in five minutes ago.
4. Grandmother cooks all meals for us.
5. They refused the unemployed man a job at the garage.
6. The student has proved this difficult theorem.
7. The professor had finished his lecture a minute before the bell rang.