Урок 3. Fractions. Exercises. Decimals and Ratios and Proportions

Decimals and Ratios and Proportions

Упражнение 13. Прочтите текст и найдите предложения, в которых содержится основная информация.

DECIMAL FRACTIONS

If the denominators of fractions are tenths, hundredths, thousandths, etc., the numerators may be written without the denominators and with a period placed before the numerators.

Если знаменателями дробей являются десятки, сотни, тысячи и т.д., числители можно записывать без знаменателей с точкой перед числителями.

In the fraction so written the numerator of the tenths is placed first after the period, that of the hundredths is second, thousandths next, etc.

Если дробь записана таким образом, количество десятых указывается сразу после точки, количество сотых – после десятых, тысячных – далее и пр. 

Thus, 0.7 is 7/10 (seven tenths); 0.06 is 6/100 (six one hundredths); 0,23 is 23/100, etc.

Таким образом, 0.7 – это 7/10; 0.06 – 6/100; 0,23 - 23/100 и т.д.

Fractions written in this manner are called decimal fractions, and the period placed before the figures is called the decimal point.

Дроби, записанные подобным образом, называются десятичными, а точка перед цифрами – десятичной точкой.

Decimal point. If any number consists of a whole number and a fraction as 18 7/10, the whole number is written before the decimal point and the fraction after, thus: 18.7. Similarly, 293 69/100 = 293.69; 12 63/1000 = 12.063, etc.

Десятичная точка: Если какое-либо число состоит из целой и дробной частей, например 18 7/10, целая часть пишется до десятичной точки, а дробная – после (в данном случае – 18.7). Аналогично 293 69/100 = 293.69; 12 63/1000 = 12.063 и т.д.

Such numbers are called decimal numbers or dimply decimals.

Такие числа называются десятичными.  

Addition and subtraction of decimals. In adding and subtracting decimals, the numbers are written one below the other with their decimal points in line and the addition or subtraction is then carried out in the usual way.

Сложение и вычитание десятичных дробей. При сложении и вычитании десятичных дробей цифры пишут друг под другом так, чтобы десятичные точки находились на одном уровне, и далее складывают и вычитают обычным образом.

In the sum or remainder, the decimal point is placed in line with the decimal point above.

В сумме или разности десятичная точка ставится на одной прямой с десятичными точками, расположенными выше.

As an illustration, let us add 7, 2.08, 753, 43.75.

В качестве примера давайте сложим 7, 2.08, 753, 43.75.

This is written down and carried out at the left.

Пример записан и выполнен слева.

The sum is "47 and 283 thousanths”.

Сумма составляет 47,283.

If the decimal fractional parts of the minuend and subtrahend do not have the same number of decimal places to the right of the decimal points, the blank places are considered as ciphers.

Если десятичные дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разное количество цифр справа от десятичной точки, пустые места принимаются за нули.

As an example, the subtractions 12.283-10.2617 is carried out at the right 2.0283.

Пример расчета разности 12.283-10.2617 = 2.0283 приведен справа.

Multiplication of decimals. In multiplying two decimal numbers, they are written down without regard to the position of either of their decimal points and the multiplication is carried out exactly as in the case of ordinary whole numbers.

Умножение десятичных дробей. При умножении двух десятичных дробей они записываются без учета положения десятичной точки, а умножение производится так, как это мы делаем с обычными целыми числами.

The position of the decimal point in the product is then determined by the

Положение десятичной точки в произведение определяется (количеством цифр после десятичной точки в обоих множителях).

Rule. Then number of figures to the right of the decimal point in the product of two decimal numbers equals the sum of the numbers of figures to the right of the decimal points in multiplicand and multiplier.

Правило. Таким образом, число цифр справа от десятичной точки в произведении двух десятичных цифр равняется сумме десятичных знаков в обоих множителях.

To multiply by 10 move the decimal point one place to the right.

Чтобы умножить на 10, перенесите десятичную точку на одну позицию вправо.

To multiply by 100 move the decimal point two places to the right.

Чтобы умножить на 100, перенесите десятичную точку на две позиции вправо.

For other similar multipliers move the decimal point one place to the right for each cipher in the multiplier.

Для выполнения прочих аналогичных операций перенесите десятичный знак вправо на столько позиций, сколько нулей в множителе.

This process is reversed in division, the rules being: To divide by 10 move the decimal point one place to the left. To divide by 100 move the decimal point two places to the left, etc.

Этот процесс является обратным процессу деления, для которого действует следующее правило: чтобы разделить на 10, перенесите десятичную точку на одну позицию влево; чтобы разделить на 100, перенесите десятичный знак на две позиции влево и т.д.

Division of decimals. Division of one decimal number by another is carried out without regard to the position of either of their decimal points in exactly the same manner as for whole numbers.

Деление десятичных цифр. Деление одного десятичного числа на другое выполняется без учета положения десятичных знаков аналогично делению целых чисел.

The position of the decimal point in the quotient is then determined by the following rule:

Положение десятичной точки в частном определяется по следующему правилу:

Subtract the number of places to the right of the decimal point in the divisor from the number in the dividend. The remainder is the number of figures to the right of the decimal point in the quotient.

Вычтите количество цифр после десятичной точки в делителе от количества цифр после запятой в делимом. Остаток есть число цифр справа от десятичной точки в частном.

Упражнение 14. Прочтите текст и составьте перечень вопросов к тексту (письменно на русском языке).

RATIO AND PROPORTION

Meaning of Ratio. The single number which represents the value of such expressions as, for example, ¾ = .75; 6/2=3 is called the ratio of the two numbers which make up the fraction. Thus 6/2 = 3 is called the "ratio of 6 to 2”.

Смысл отношения. Простое число, которое представляет значение таких выражений, как, например, ¾ = .75; 6/2=3 называется отношением двух чисел, которое представляет собой дробь. Так, 6/2 = 3 называется отношением 6 к 2.

Instead of the fraction line (-) or the division sign (:) the sign (÷) is sometimes used to indicate a ratio. It may be thought of as the division sign with the fraction line removed. The fraction 6/2, or the quotient 6:2 is then written as the ratio 6÷2.

Вместо дробной черты (-) или знака деления (:) часто используется знак (÷) для обозначения отношения. Это фактически знак деления, если убрать дробную черту. Отношение 6/2, или частное 6:2, таким образом, можно записать как отношение 6÷2.

Other examples of ratios are the ratio of 4 to 2; 4÷2; the ratio of 21 to 7, 21÷7; etc. The values of the ratios are, respectively, 2, 3.

Другими примерами отношений являются 4÷2, 21÷7 и т.д. Результаты указанных отношений составляют соответственно 2, 3.

From the examples and definition given, it may be said, in a general way, that the ratio of one number to another represents or indicates the relative value or magnitude of the two numbers, the value of one of them as compared with the other. Thus in the ratio of 6 to 2, written 6:2, the 6 is three times as great as the 2.

Исходя из вышеприведенных примеров и определений, можно сделать обобщение, что отношение одного числа к другому представляет собой относительное значение двух чисел, значение одного числа по сравнению с другим. Таким образом, в отношении 6 к 2 (записывается как 6÷2), 6 в три раза больше, чем 2.

Meaning of Proportion. When two ratios are equal, the four numbers forming the ratios are said to form a proportion, or to be in proportion. Thus, the ratio of 21 to 7 is 3; also ratio of 6 to 2 is 3. Therefore, the two ratios are equal, 21/7 = 6/2 and the numbers 21, 7, 6, 2 are in proportion.

Значение пропорции. Когда два отношения равны, говорят, что четыре числа, составляющие отношения, образуют пропорцию, или составляют пропорцию. Так, отношение 21 к 7 равно 3; также отношение 6 к 2 равно 3. Следовательно, два отношения 21/7 = 6/2 равны, и числа 21, 7, 6, 2 являются пропорцией.

The proportion 21/7 = 6/2 is sometimes written 21:7 = 6:2, which is read "21 is to 7 as 6 is to 2”. Here the proportion sign may be thought of as equivalent to the equality sign (=).

Пропорция 21/7 = 6/2 иногда записывается как 21:7 = 6:2. Такая запись читается так: 21 так относится к 7, как 6 к 2. В данном случае знак пропорции является эквивалентом знаку равенства (=).

If any three numbers of a proportion are known, but the fourth unknown, the fourth may be represented by a letter. This may be the initial letter of the word which names the thing the number is to represent, as L for length, W for weight, P for price, etc., or for any number in general the letter X may be used. Thus, in the proportion 22/11 = 10/x, or 22:11 ::10 :x, x is the unknown number.

Если любые три числа пропорции известны, а четвертое неизвестно, то его можно представить буквой. Эта буква может быть начальной буквой слова, обозначающего понятие, связанного с цифрой (например L – длина, W – вес, Р – цена и т.д.). В целом обычно используют букву Х. Так, в пропорции 22/11 = 10/x, или 22:11 = 10 :x, x – неизвестный член.

The Fundamental Rule of Proportion. In a proportion such as 21:7 = 6:2 the first and last or "end” numbers are called the extremes of the proportion and the second and third "intermediate” numbers are called the means. In the proportion given, the extremes are 21 and 2 the means are 7 and 6.

Фундаментальное правило пропорции. В пропорции (например, 21:7 = 6:2) первый и последний, или «концевые», члены называются крайними членами, а второй и третий члены называются средними членами. В указанной пропорции 21 и 2 – крайние члены, а 7 и 6 – средние.

It is to be noted that the product of the means in the proportion which is 7*6=42, is the same as that of the extremes, 21*2=42. We can state, therefore, that in any proportion the product of the means equals the product of the extremes. This is the fundamental rule of proportion.

Необходимо отметить, что произведение средних членов пропорции (7*6=42) равно произведение ее крайних членов (21*2=42). Таким образом, мы может утверждать, что в любой пропорции произведение средних членов равно произведению ее крайних членов. Это фундаментальное правило пропорции.

The two numbers which form a proportion are called the members of terms of the proportion.

Два числа, которые составляют пропорцию, называются членами пропорции.

If any term of a proportion is not known, but the other three are known, then the fourth term can be found.

Если какой-либо член пропорции неизвестен, а три других члена известны, четвертый член может быть найден.

What is X in the proportion 42:7=X:57. According to the fundamental rule, 7*X=42:5. That is, 7x = 210, and therefore x=210:7=30.

Как рассчитать Х в пропорции 42:7=X:57. В соответствии с фундаментальным законом 7*X=42:5, т.е. 7x = 210; и следовательно, x=210:7=30.

Rule 1. If either extreme of a proportion is unknown, divide the product of the means by the known extreme.

Правило 1. Если неизвестен один из крайних членов пропорции, разделите произведение средних членов на известный крайний член.

Rule 2. If either mean is unknown, divide the product of the extremes by the known mean.

Правило 2. Если неизвестен какой-либо средний член, разделите произведение крайних членов на известный средний член.

Rule of 3. If three known numbers are related proportionally, the product of the two of the same kind divided by the third gives the fourth member of the proportion.

Правило 3. Если три известных числа составляют пропорцию, произведение двух средних или крайних членов соответственно, поделенное на третий член, дает четвертый член пропорции.

Упражнение 15. Заполните пропуски подходящими по смыслу словами или выражениями.

1. One of the sum of several fractional units is called a … (fraction).
2. The number above the fraction line is the numerator and that below is the … (denominator) of the fraction.
3. The numerator and denominator of a fraction taken together are sometimes called the … (terms) of the fraction.
4. A fraction whose numerator is less than its denominator is caller a … (proper fraction).
5. A number which is expressed by a whole number and a fraction is called a … (mixed number).
6. A part of unity or several equal parts of unity is a … (fraction).
7. In general, a fraction can be reduced to lower terms if the numerator and the denominator have a … (common divisor).
8. When writing decimal there is no need to indicate the name of the … (denominator).
9. The digits which come after the decimal point on the right are termed the … (numerator).
10. If the denominators of fractions are tenths, hundredths, thousandths, etc, the fractions are called … (decimal fractions).

Упражнение 16. Заполните пропуски одним из глаголов, данных в скобках.

1. Thus if the unit…(is divided) into four equal parts, each fractional unit is called one fourth (be separated, be divided, be substituted).
2. The denominator … (names) the fractional unit (subtract, insert, name).
3. Annexing zeros to the right of a decimal fraction… (changes) its value (give, invert, change).
4. A decimal fraction is increased 10, 100, 1000, etc, times if the decimal point … (is moved) more one place, two places, three places, etc, to the right (be subtracted, be moved, be performed).

Упражнение 17. Употребите глагол, данный в скобках, в нужном времени

1. If he (ask) me this question, I shall answer it. (asks)
2. As soon as I (graduate from) the Institute I shall go to my native town. (graduate)
3. If he (get) an appointment work at this research institute, he will be pleased. (gets)
4. If you (be) ready, you must make your report at the seminar. (are)
5. If he (take) a post-graduate course, he will study a foreign language and philosophy. (takes)
6. When Nick (pass) his exams, he will go to the Crimea for holiday. (passes)
7. As soon as she (select) the subject of her report she will tell us about it. (selects)

Упражнение 18. Образуйте причастие I и II данных глаголов по образцу:

to write – writing – written,

to develop – developing - developed,

to calculate – calculating - calculated,

to make – making - made,

to have – having - had,

to study – studying - studies,

to add – adding - added,

to form – forming - formed,

to divide – dividing - divided,

to multiply – multiplying - multiplied,

to subtract – subtracting - subtracted,

to do – doing - done,

to reduce – reducing - reduced.