Урок 3. Fractions

Урок 3. Fractions 

Грамматика: 1) причастие

2) Present Indefinite в придаточных предложениях времени и условия

Задания

I.                    Прочтите следующие слова:

unit

separate

numerator

denominator

distinguish

decimal

reduce

multiple

cancellation

2. Прочтите текст и найдите предложения. выражающие основные положения текста.

3. Прочтите текст и найдите предложения, детализирующие основные идеи.

4. Прочтите текст и составьте его план (письменно на русском языке).

COMMON FRACTIONS

ПРОСТЫЕ ДРОБИ

Definitions. (Определения)

A fraction is one or the sum of several fractional units.

Дробь – это одна дробная часть или сумма нескольких дробных частей.

Thus ¼ (one fourth) is a fraction; so, also, is three fourths ¼ + ¼ + ¼, which is written ¾ (three fourths).

Так, ¼ - это дробь; то же самое можно сказать и о трех четвертях ¼ + ¼ + ¼, что записывается как ¾.

The symbol ¾ (three fourths) indicates 3 of 4 equal parts, three of the fractional units ¼ (one fourth).

Символ ¾ указывает на 3 из 4-х равных частей, три дроби по ¼.

In fractions such as ½ (a half), ¾ (three fourths), etc., the horizontal line separating the two numbers in each fraction is called the fraction line.

В таких дробях, как ½, ¾ и т.д., горизонтальная черта, разделяющая два числа в каждой дроби, называется дробной чертой.

The number above the fraction line is the numerator and that below is the denominator of the fraction.

Число над дробной чертой – числитель, а число под дробной чертой – знаменательно дроби.

The denominator names the fractional unit and the numerator indicates the number of those units contained in the fraction.

Знаменатель называет дробную единицу, а числитель указывает на количество таких единиц, содержащихся в дроби.

The numerator and denominator taken together are sometimes called the terms of the fraction.

Числитель и знаменатель вместе иногда называются элементами дроби.

A fraction whose numerator is less than its denominator is called a proper fraction; one whose numerator is equal to or greater than its denominator is an improper fraction.

Дробь, чей числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью; дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя, - неправильная дробь.

Thus, 2/3 (two thirds), 9/11 (nine elevenths) are proper fractions; 7/7 (seven sevenths), 81/72 (eighty one seventy seconds) are improper fractions.

Так, 2/3, 9/11 – правильные дроби; 7/7, 81/72 – неправильные дроби.

A number which is expressed by a whole number and a fraction is called a mixed number.

Число, которое выражено целым числом и дробью, называется смешанным числом.

Thus 12 3/4 (twelve and three fourths) is a mixed number; it is read "twelve and three fourths.

Так, 12 ¾ - смешанное число; оно читается 12 и три четверти.

Fractions as defined in this article are called common fractions to distinguish them from decimal fractions, discussed later.

Дроби, о которых речь идет в данной статье, называются простыми дробями, в отличие от десятичных дробей, которые будут рассмотрены ниже.

Values of fractions.

Значения дробей.

When the numerators of different fractions are the same, the fractions having larger denominators have smaller values.

Когда числитель разных дробей одинаковы, дроби, имеющие большие знаменатели, имеют меньшие значения.

That is 1/3 (a third) is greater than ¼ (a fourth).

Так, 1/3 больше, чем ¼.

When the denominators are the same, fractions having larger numerators have larger values.

Когда знаменатели одинаковы, дроби, имеющие большие числители, имеют большие значения.

That is, 2/3 (two thirds) is greater than 1/3 (a third).

Так, 2/3 больше, чем 1/3.

When the denominators and the numerators of different fractions are both different, the values of the fractions cannot be compared until they are converted so as to have the same denominators.

Когда знаменатели и числители дробей отличаются, значения дробей нельзя сравнивать, пока их не приведут к общим знаменателям.

Fractions indicate division, the numerator being a dividend, the denominator a divisor, and the value of the fraction the quotient.

Дроби указывают на деление, при этом числитель – это делимое, знаменатель – делитель, а значение дроби – частное.

Reduction of fractions.

Сокращение дробей

The two fractions 3/12 (three twelfths) and ¼ (a fourth) have the same value even though they are of different forms.

Две дроби 3/12 и ¼ имеют одинаковое значение, хотя они имеют разные записи. 

The fraction ¼ is said to be expressed in lower terms.

Говорят, что дробь ¼ несократима.

A fraction can be reduced to lower terms if numerator and denominator are divisible by a single number, that is if they have a common divisor.

Дробь можно сократить, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же числе, т.е. если они имеют общий делитель.

In order to reduce a fraction to its lowest terms, the greatest common divisor (the G.C.D.) must be used.

Чтобы сократить дробь к несокращаемому виду, нужно использовать наибольший общий делитель (НОД).

Rule. (Правило)

To reduce a fraction to its lowest terms, divide its numerator and its denominator by their G.C. D.

Чтобы привести дробь к несократимому виду, поделите ее числитель и ее знаменатель на их НОД.

To reduce 18/30 (eighteen thirtieths) to its lowest terms it is seen at once that the G.C.D. of 18 (eighteen) and 30 (thirty) is 6.

Чтобы привести дробь 18/30 к несократимому виду, сразу отметим, что НОД 18 и 30 есть 6.

The numerator of the reduced fraction is, therefore, 18:6=3 (eighteen is divided into 6 equals 3), and the denominator is 30:6=5 (thirty is divided into 6 equals 5); the reduced fraction is, therefore 3/5 (three fifths).

Числитель сокращенной дроби, таким образом, равен 18:6=3, а знаменатель - 30:6=5; таким образом, сокращенная дробь – 3/5.

Fractions of Common Denominator. (Дроби с общим знаменателем)

When two or more fractions have the same number for denominators, this number is called the common denominator of the several fractions.

Когда две или более дробей имеют одно и то же число в качестве знаменателя, это число называется общим знаменателем нескольких дробей.

Thus, in the fractions 3/8 (three eights), 7/8 (seven eights), 5/8 (five eights), 8 (eight) is the common denominator.

Так, в дробях 3/8, 7/8, 5/8, 8 – общий знаменатель.

Consider the fractions 2/3 (two thirds) and 3/5 (three fifths).

Рассмотрим дроби 2/3 и 3/5.

They do not have the common denominator, but both may, however, be expressed with the denominator 15 (fifteen).

Они не имеют общего знаменателя, но обе, однако, могу быть выражены через знаменатель 15.

This is the least common denominator (the L.C.D.) and the least common multiple (the L.C.M.) of the denominators 3 (three) and 5 (five).

Это наименьший общий знаменатель (НОЗ) и наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 3 и 5.

Addition and Subtraction of Fractions. (Сложение и вычитание дробей)

Rule. (Правило)

To add or subtract fractions, first express them with the L.C.D., and then add or subtract the numerators, writing the result as the numerator of a fraction with the common denominator.

Чтобы прибавить или вычесть дроби, сначала приведите их к общему знаменателю, а затем сложите или вычтите числители и запишите результат как числитель дроби, сохранив общий знаменатель.

This fraction is the desired sum or difference, respectively.

Эта дробь – требуемые сумма или разность соответственно.

Example. To add 2/3 + 5/8 + 5/6 + ¾ (two thirds plus five eights plus five sixths plus three fourths). The L.C.D is 24 (twenty four).

Пример. Сложить 2/3 + 5/8 + 5/6 + ¾. Общий знаменатель – 24.

The sum of the numerators is now 16 + 15 + 20 + 18 = 69 (sixteen plus fifteen plus twenty plus eighteen equals sixty nine), and the sum of the fractions is, therefore, 69/24 (sixty nine twenty fourths).

Сумма числителей – 69, а сумма дроби, таким образом, составляет 69/24.

Reduced to lower terms this is 23/8 and expressed as a mixed number it is 2 7/8 (two and seven eights).

В сокращенном виде это 23/8, или 2 7/8 как смешанное число.

To subtract 17/21 – 2/9 (seventeen twenty firsts minus two ninths) ; the L.C.D. is 63 (sixty three) and the subtraction becomes 51/63 – 14/63 = 37/63 (fifty one sixty thirds minus fourteen sixty thirds equals thirty seven sixty thirds).

Вычесть 17/21 – 2/9. Наименьший общий делитель – 63; вычитание сводится к примеру: 51/63 – 14/63 = 37/63.

Multiplication of Fractions. Умножение дробей

Rule. (Правило)

To multiply a fraction by a whole number, multiply the numerator by that number, and write the product as the numerator of a new fraction with the same denominator.

Чтобы умножить дробь на целое число, умножьте числитель на это число; результат запишите в числитель новой дроби, оставив знаменатель прежним.

Thus, to multiply 17/28 (seventeen twenty eights) by 3 we have 51/28 (fifty one twenty eights).

Так, при умножении 17/28 на 3 получим 51/28.

Rule. Правило

The product of fractions is found by multiplying together the numerators, and also the denominators.

Результат умножения дробей равен произведению числителей и знаменателей.

Thus: 5/11 *2/3 = (5*2)/(11*3) = 10/33. (five elevenths times two thirds equals five times two in brackets is divided into eleven times three in brackets equals ten thirty thirds.

Так, 5/11 * 23 = (5*2)/(11*3) = 10/33.

Division of Fractions. Деление дробей.

Rule. (Правило)

To divide a fraction by a whole number, multiply the denominator of the fraction by that number.

Чтобы разделить дробь на целое число, умножьте знаменатель дроби на это число.

Example: 5/7 : 2 = 5/(7*2) = 5/14. (five sevenths is divided into two equals five is divided into seven times two in brackets equals five fourteenths.

Пример: 5/7 : 2 = 5/(7*2) = 5/14.

From this rule it is seen that division is exactly inverse operation to multiplication.

Из этого правила видно, что деление – операция, точно обратная умножению.

Rule. Правило.

To divide a whole number or a fraction by a fraction, invert the divisor fraction and multiply.

Чтобы разделить целое число или дробь на дробь, переверните дробь-делитель и умножьте.

To divide the fraction 15/16 (fifteen sixteenth) by the fraction 5/8 (five eights) we have 15/16 : 5/8 = 15/16 * 8/5 (fifteen sixteenths is divided into five eights equals fifteen sixteenths times eight fifths).

Чтобы разделить дробь 15/16 на дробь 5/8, имеем: 15/16 : 5/8 = 15/16 * 8/5.

In carrying out the final multiplication cancellation is to be used wherever possible.

При выполнении умножения необходимо сократить множители, если это возможно.

In this case we have 15/16 * 8/5 = 3/2. (fifteen sixteenths times eight fifths equals three seconds)

В данном случае имеем 15/16 * 8/5 = 3/2.

Summary

1. The title of the text is "Common Fractions”.

2. The main idea of this text is to give readers a general idea of common fractions.

3. Firstly, the author gives definitions of the fraction, the fraction line, the numerator and the denominator, proper and improper fractions.

4. Then the author dwells upon the subject of values of fractions; that is how to compare various fractions.

5. We can compare fractions only with the common denominator or the common numerator.

6. Then the author considers the reduction of fractions.

7. Thus, a fraction can be reduced to lower terms if the numerator and the denominator have a common divisor.

8. The author also gives a rule how to add and subtract fractions.

9. We can add and subtract only those fractions which have a common denominator.

10. At the end of the text we find information about multiplication and division of fractions.

11. To multiply two fractions you should multiply the numerators and the denominators of the fractions given.

12. To divide two fractions you should invert the divisor fraction and multiply.

13. In the conclusion I want to tell that the article contains a lot of mathematics terms and it is very informative.

Упражнения