Урок 8. Non-Euclidian geometries

Урок 8. Non-Euclidian  geometries

Грамматика: герундий (продолжение)

Задания

I. Внимательно прочтите текст. Скажите, какие дополнительные сведения по этому вопросу вам известны.

2. Про прочтении текста сформулируйте основную идею текста.

3. Составьте вопросы к тексту.

Text

It is interesting to note that the existence of the special quadrilaterals discussed above is based upon the so-called parallel postulate of Euclidean geometry.

Интересно заметить, что существование различных четырехугольников, о которых говорилось выше, объясняется так называемой аксиомой о параллельности Евклидовой геометрии.

This postulate is now usually stated as follows: Through a point not on line L there is no more than one line parallel to L.

Эта аксиома в настоящее время формулируется следующим образом: через точку, не лежащую на прямой L, может проходит лишь одна прямая, параллельная прямой L.

Without the assumption that there exists at least one parallel to a given line through a point not on the given line, we could not state the definition of the special quadrilaterals which have pairs of parallel sides.

Предположив, что через точку вне прямой проходит не одна прямая, параллельная данной прямой, мы не могли бы утверждать, что существуют четырехугольники с попарно параллельными сторонами.

Without assuming that there exists no more than one parallel to the given line through a point not on the given line, we could not deduce the conclusion we have stated for the special quadrilaterals.

Предположив, что через точку вне прямой проходит не одна прямая, параллельная данной прямой, мы не могли бы сделать вывод, который мы сделали для четырехугольников с попарно параллельными сторонами.

An important aspect of geometry (or any other area of mathematics) as a deductive system is that the conclusions which may be drawn are consequences of the assumptions which have been made.

Важным свойством геометрии (или любой другой области математики) как дедуктивной системы является то, что выводы, которые могут быть сделаны, строятся на заранее сделанных предположениях.

The assumptions made for the geometry we have been considering so far are essentially those made by Euclid in Elements.

Предположения в области геометрии, которые мы рассматривали до настоящего момента, были сделаны Евклидом в книге «Начала».

In the 19^th century, the mathematicians Lobachevski, Bolyai and Riemann developed non-Euclidean geometries.

В 19 веке математики Лобачевский, Бо́льяй и Риман разработали неевклидовы геометрии.

As already state, Euclid assumed that through a given point not on a given line there is no more than one parallel to the given line.

Как уже говорилось, Евклид предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Lobachevski and Bolayi assumed independently of one another that through a given point not on a given line there is more than one line parallel to the given line.

Лобачевский и Больяй предположили, независимо друг от друга, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не одна прямая, параллельная данной прямой.

Riemann assumed that through a given point not on a given line there is no line parallel to the given line.

Риман предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести прямую, параллельную данной.

These variations of the parallel postulate have led to the development of non-Euclidean geometries which are as internally consistent as Euclidean geometry.

Эти варианты аксиомы параллельности привели к развитию неевклидовых геометрий, которые отличает такая же внутренняя последовательность, как и Евклидову геометрию.

However, the conclusions drawn in non-Euclidean geometries are often completely inconsistent with Euclidean conclusions. For example, according to Euclidian geometry parallelograms and rectangles (in the sense of a parallelogram with four 90-degree angles) exist.

Однако выводы, сделанные в неевклидовых геометриях, часто совершенно противоречат выводам Евклидовой геометрии. Например, в соответствии с Евклидовой геометрией параллелограммы и прямоугольники (рассматриваемые как параллелограмма с четырьмя углами по 90 градусов) существуют.

According to the geometries of Lobachevski and Bolyai parallelograms exist but rectangles do not; according to the geometry of Riemann neither parallelograms nor rectangles exist.

В соответствии с геометриями Лобачевского и Больяйя параллелограммы существуют, но прямоугольники существовать не могут; в соответствии с геометрией Римана не существуют ни параллелограмма, ни прямоугольники.

It should be borne in mind that the conclusions of non-Euclidian geometry are just as valid as those of Euclidian geometry, even though the conclusions of non-Euclidian geometry contradict these of Euclidian geometry.

Необходимо помнить, что выводы неевклидовой геометрии так же ценны, как выводы Евклидовой геометрии, хотя выводы неевклидовой геометрии противоречат выводам Евклидовой геометрии.

This paradoxical situation becomes intuitively clear when one realizes that any deductive system begins with undefined terms.

Эта парадоксальная ситуация становится интуитивно понятной, если принять, что любая дедуктивная теория начинается с понятий, которые не могут быть определены.

Although the mathematician forms intuitive images of the concepts to which the undefined terms refer, these images are not logical necessities.

Хотя математик строит интуитивные образы концепций, которым принадлежат понятия, не имеющие определений, эти образы не являются логическими необходимостями.

That is, the reason for forming these intuitive images is only to help our reasoning within a certain deductive system.

Таким образом, целью построения интуитивных образов является помощь в построении рассуждений в рамках определенной дедуктивной теории.

They are not logically a part of the deductive system.

Они не являются логической частью дедуктивной теории.

Thus, the intuitive images corresponding to the undefined terms straight line and plane are not the same for Euclidian and non-Euclidian geometries.

Так, интуитивные образы, соответствующие исходным (неопределенным) терминам прямой линии и плоскости, отличаются друг от друга в евклидовой геометрии и неевклидовых геометриях.

For example, the plane of Euclid is a flat surface; the plane of Lobachevski is a saddle-shaped or pseudospherical surface; the plane of Riemann is an ellipsoidal or spherical surface.

Например, плоскость по Евклиду – это плоская поверхность; плоскость по Лобачевскому – это седловидная или псевдосферическая поверхность; плоскость по Риману – эллипсоидная или сферическая поверхность.

Упражнение 4. Найдите в тексте английские эквиваленты следующих слов и словосочетаний.

Эта теория основана на – this theory is based upon;

сформулировать постулат – to state a postulate;

сделать вывод, сделать предположение, последовательный – to deduce the conclusion, to assume, consistent;

согласно чему-либо – according to smth, in accordance with smth;

следует запомнить, что - it should be borne in mind;

противоречить чему-либо – contradict smth.  ;

логическая необходимость – logical necessity;

рассуждение – reasoning.

Exercises to be continued