Whole numbers (exercises continuation)

12. Прочтите текст и скажите, какие знакомые вам сведения содержатся в нем.

13. Прочтите текст и скажите, что нового вы узнали из него.

14. Прочтите последний абзац текста и найдите предложение, раскрывающее историю знаков + и -.

Early man probably did his counting by the aid of his ten fingers, and we still "count on our fingers” and by fives and tens.

Древний человек, возможно, считал с помощью своих десяти пальцев, и мы все еще «считает на наших пальцах» и пятерками и десятками.

It is not certain what the first number symbols were.

Неизвестно, что представляли собой символы первых буквы.

They were probably fingers held up, groups of pebbles or sticks, notches on a stick, etc., one for each article to be counted.

Возможно, это были выпрямленные пальцы, горстка камешков или палочек, зарубки на палке и т.д.; 1 символ – 1 предмет из подсчитываемых вещей.

Quite early, however, groups of marks 1, II, III, IIII, etc., were used to represent numbers and these are still used as tallies in counting, as I, II, III, IIII for 1, 2, 3, 4, 5 etc.

Однако уже в древности группы меток, например 1, II, III, IIII и т.д., использовались  как цифры, и они все еще используются в этом качестве при счете (I, II, III, IIII вместо 1, 2, 3, 4, 5 и т.д.)

The earliest written symbols of the Babylonians were wedge-shaped or cuneiform symbols.

Ранние вавилонские символы представляли собой клинообразные знаки.

The vertical wedge (v) represented one, the horizontal wedge (<) ten, and the two together (V<) one hundred.

Вертикальный клин (v) обозначал 1, горизонтальный (<) – 10, а два вместе (v<) – сто.

Other numbers were formed by writing these three symbols in various combinations.

Другие цифры получались написанием этих трех символов в разных сочетаниях.

The Egyptians used hieroglyphics, pictures of objects or animals that in some way represented the idea of the number they wished to represent, thus one was represented by a vertical staff (I), ten by a symbol like a horse shoe, one hundred by a crook or spiral, one million by the picture of a man with hands outstretched in an attitude of astonishment, etc.

Египтяне использовали иероглифы, изображения предметов или животных, которые каким-либо образом передавали идею желаемого числа. Так, 1 обозначался как I, 10 – символом, напоминающий лошадиную подкову, 100 – крючком или спиралью, 1 миллион – изображением человека с руками, вытянутыми в жесте изумления и т.д.

To form other numbers these symbols were placed beside each other in the proper combinations and added.

Для образования других чисел эти символы располагались рядом друг с другом в соответствующих сочетаниях и складывались.

The Greeks used the letters of their alphabet for number symbols and combined them after the manner of the Babylonians to form other symbols.

Греки использовали буквы своего алфавита для обозначения цифр и комбинировали их наподобие того, как делали вавилоняне, чтобы образовать другие цифры.

The Romans also used the letters of their alphabet for number symbols and these have come down to us as 1, II, III, IIIII (or IV), V, X etc.

Римляне также использовали буквы своего алфавита для обозначения цифр, и эти обозначения дошли до нас в виде 1, II, III, IIIII (или IV), V, X и т.д.

None of the ancients had a symbol for naught or zero and in general they found arithmetical calculation very difficult.

Ни у одного древнего народа не было знака, обозначающего нуль, да и в целом они полагали арифметические вычисления очень трудными.

The system now used by almost all peoples of the civilized world originated in India with the Hindus.

Система, используемая сегодня почти всеми народами цивилизованного мира, зародилась в Индии и народа хинди.

It was obtained from them by the Arabs, who introduced it into Europe soon after the conquest of Spain in the eight century A.D.

Она была перенята ими у арабов, которые внедрили ее в Европе вскоре после завоевания Испании в восьмом веке н.э.

On this account the numerals or figures of this system are now called the Arabic numerals.

Поэтому цифры этой системы называются арабскими.

------------------------

The numeral 1 is simply the single mark 1.

Цифра 1 – это просто обозначение единицы.

The 2 is formed from two joined horizontal marks Z and the 3 from three such marks.

2 образуется из двух соединенных горизонтальных меток (z), а три – из трех таких меток.

The 4, 5, 6, 7, 9 and probably 8 were the initial letters of the corresponding words from numerals in a language used in the north of India a few centuries B.C.

4, 5, 6, 7, 9 и, возможно, 8 были начальными буквами соответствующих слов, обозначающих цифры в языке, использовавшемся на севере Индии за насколько сотен лет до н.э.

The Arabs used the symbol 0 to mean empty.

Арабы использовали символ 0 для обозначения пустоты.

Their word for "empty” was "sifra” and from this we get our word Cipher for the zero symbol.

Арабское слово, обозначающее «пусто», звучало как «сифра»; и от этого слова произошло английское слово "cipher” - нуль.

The ancient peoples had no convenient signs of operation for numbers.

В древности люди не знали удобных символов для обозначения операций над цифрами.

Addition was generally indicated by placing together the numbers to be added and other operations were stated in words.

Сложение обозначалось постановкой двух слагаемых рядом друг с другом; другие операции описывались словами.

The signs + and – seem to have been used first by one Widman, in a book on arithmetic published in Germany in 1489.

Знаки + и -, по всей видимости, были впервые введены Видманом в книге по арифметике, опубликованной в Германии в 1489 году.

He used them to mark excess or deficiency, as "more” or "less”, but they soon came into use as signs of operation indicating "add” and "subtact”.

Он использовал их для обозначения излишка или недостатка (или «больше» или «меньше»), однако они скоро стали использоваться как знаки операций сложения и вычитания.

The sign x was used by William in England in 1631 to indicate multiplication.

Знак x был впервые использован Вильямом в Англии в 1631 году для обозначения умножения.

The Arabs quite early indicated division in the form of fractions.

Арабы достаточно рано стали обозначать деление в виде дробей.

Following this method one Raln used the sign : to indicate division, in a book on the subject of Algebra which was published in 1669, the dot above the line indicating the position of the dividend or numerator in a fraction and the dot below the line that of the divisor or denominator.

По этому методу некто Ралн использовал знак : для обозначения деления в книге по алгебре, опубликованной в 1669 года; при этом точка над линией обозначала положение делимого, или числители в дроби, а точка под чертой – делителя, или знаменателя.

Robert Record in England introduced the equality sign (=) in 1557, two lines of equal length indicating equality.

Роберт Реконд из Англии ввел знак равенства в 1557 году – две линии равной длины, обозначающее равенство.

These signs are now used everywhere in all branches of mathematics.

Эти знаки теперь используются повсюду во всех областях математики

15. Прочтите текст и составьте к нему 5 – 6 вопросов.

16. Прочтите текст и ответьте на вопрос, в какой мере информация, содержащаяся в тексте, соотносится с проблематикой вашей будущей профессии.

Representing numbers in different bases

(Представление чисел в различных системах счисления)

It is difficult to overestimate the contribution which this new number system made to civilization.

Трудно переоценить вклад, который новая система счисления внесла в развитие цивилизации.

Probably many students do not appreciate what is meant by the base of a number system or the significance of place value.

Вероятно, многие студенты не понимают, что подразумевается под основанием системы счета или значением положения символа.

We shall briefly investigate these two characteristics.

Мы кратко исследуем эти две характеристики.

The number 247 is written in positional notation, which means that the symbols (2, 4, 7) have value by virtue of their position or place in the number.

Число 247 записано в позиционной системе счисления. Это означает, что символы 2, 4, 7 имеют значение, связанное с их положением в числе.

Since our number system has base ten, 2 is the hundreds’ place, 4 is in the tens’ place, and 7 is in the units’ place.

Так как наша система счисления имеет основание 10, то 2 занимает место сотен, 4 – место десятков, 7 – место единиц.

 By virtue of this fact 247 really means 2(10)² + 4(10)’ + 7.

В связи с этим число 247 можно представить так: 2(10)² + 4(10)’ + 7.

This last from, 2(10)2 + 4(10)’ + 7, we shall call the polynomial form to distinguish it from the positional notation.

Последнюю запись 2(10)² + 4(10)’ + 7 мы будем называть полиномом, таким образом отличая ее от позиционной записи числа.

This shows how the number system depends upon its base, or radix.

Вышесказанное показывает, как система счисления зависит от основания.

As another illustration of this, the polynomial form of the number 3069 = 3(10)² + 0(10) ² + 6(10)’ + 9.

Другой пример – полином числа 3069 = 3(10) ² + 0(10) ² + 6(10)’ + 9.

Thus positional notation is an abbreviation of the polynomial form.

Позиционная запись – краткая запись полинома.

 It should be evident that with positional notation and base ten, all integers can be expressed with the ten symbols 0, 1, 2…9, in various arrangements.

Очевидно, что в позиционной системе с основанием 10 все целые числа выражаются десятью символами (0, 1, 2…9) в их различных комбинациях.

Our system is called the decimal or denary system.

Наша система называется десятичной.

It is easy to see that the selection of ten is not essential and that any integer greater than one would suffice.

Легко видеть, что выбор десяти не принципиален: подойдет (в качестве основания) любое целое число, большее единицы.

In fact, there is little doubt that different civilizations have used various bases for number systems. For example, the positional system with base two has the smallest possible base.

Скорее всего, разные цивилизации использовали разные основания для систем счета. Так, позиционная система с основанием 2 – система с наименьшим возможным основанием.

It is called the binary or duomal or dyatic system.

Она называется двоичной системой.

In this system only two symbols are necessary to express all numbers. They are 0 and 1.

В этой системе нужны только два символа, чтобы выразить все числа. Это 0 и 1.

The number 101 base two (written 101₂) means 1(2)² + 0(2)¹ + 1. If changed to the decimal system, it becomes 4 + 0 + 1 = 5.

Число 101 с основанием 2 (записывается 101₂) записывается как 1(2)² + 0(2)¹ + 1. Если перейти на десятичную систему, получим 4 + 0 + 1 = 5.

17. Прочтите следующие утверждения, скажите, правильны ли они, неправильны или не включены в текст.

1.      The ancient peoples had no convenient signs of operation for numbers. (T)

2.      The Romans did not use the letters of their alphabet for number symbols. (F)

3.      The idea of positional value of number symbols seems to have been used by such ancients as the Babylonians some thousands of years ago. (T)

4.      The ancient Egyptians used an additional principle in their system of writing numerals. (T)

5.      The Greeks used the letters of their alphabet for number symbols and combined them after the manner of the Babylonians to form other symbols. (T)

6.      The earliest written symbols of the Babylonians were wedge-shaped or cuncuneiform symbols. (T)

7.      A system of naming numbers is based on tens. (T)

8.      Robert Record in England introduced the equality sign (=) in 1557, two lines of equal length indicating equality. (T)

9.      The parentheses are never used in solving arithmetical sums. (F)

10.  None of the ancients had a symbol for naught or Zero and in general they found arithmetical calculation very cumbersome and difficult. (T)

11.  In order to denote numbers we use symbols called numerals. (T)

12.  If any number of combination of numbers is inclosed in parentheses the whole combination or result of the indicated operations, inside the parentheses is not considered as a single number. (F)

18. Заполните пропуски соответствующими существительными:

1. If a number is applied to specific counted or measured things, objects or quantities, as 7 books, 5 pencils…the number is said to be _______________(concrete) or ____________(denominate).
2. Any integer greater than unity and having no divisors except itself and unit is called _______________(prime).
3. The sequence of whole numbers going on without end 1, 2, 3… is called the set of ____________(numbers).
4. Numbers at random used in counting, adding, subtracting, etc., as 1, 2, 3… or 4275 + 982 = 5257  are ________________ (abstract).
5. Since the value of a digit in our number system depends upon its position in a number the system is called ________________ (positional).
6. The way of writing the number 247 in which the symbols (2, 4, 7) have value by virtue of their position or place in the number is called positional notation.

19. Напишите цифрами следующие числа:

ninety-one, three hundred and fifty-four, five thousand nine hundred and seven, six thousand and eighty four, two hundred thirty thousand and seventy-six, twenty-three million four hundred sixteen thousand five hundred and twenty-nine, three million fifty-six thousand and forty-nine, three million six thousand and nine.

20. Напишите словами следующие числа:

86, 303, 1506, 1111, 581029, 3025003, 2008037, 2000007, 1460500, 2060030, 200004.