THE PITHAGORIAN PROPERTY

Урок 10. THE PITHAGORIAN PROPERTY

Грамматика: Абсолютный причастный оборот.

Задания

1. Прочтите текст, скажите, какой из известных вам вариантов решения данной проблемы описывается в тексте.
2. Прочтите текст, сообщите известные вам дополнительные сведения по этому вопросу.
3. Прочтите текст, укажите (устно, на русском языке), в какой логической последовательности дается материал в тексте.

THE PITHAGORIAN PROPERTY (Теорема Пифагора)

The ancient Greeks discovered that stretching ropes of length 3 units, 4 units and 5 units as shown below, the angle formed by the shorter ropes is a right angle.

Древние греки обнаружили, что если образовать треугольник, натягивая веревки с отношением длин 3:4:5, как показано ниже, угол, образованный более короткими веревками, прямой.

The Greeks succeeded in finding other sets of three numbers which gave right triangles and were able to tell without drawing the triangles which would be right triangles, their method being as follows.

Греки обнаружили и другие соотношения чисел, дающие прямоугольные треугольники, и могли сказать, не выполняя построений, какие треугольники будут прямые. Их метод состоит в следующем:

If you look at the illustration, you will see a triangle with a dashed interior.

Если вы посмотрите на рисунок, вы увидите заштрихованный треугольник.

Each side of it is used as the side of a square.

Каждая его сторона представляет собой также сторону квадрата.

Count the number of small triangular regions in the interior of each square.

Посчитайте количество маленьких треугольников внутри каждого квадрата.

How does the number of small triangular regions in the two smaller squares compare with the number in the largest square?

Каково отношение количества треугольников в малых квадратах и количества треугольников в большом квадрате?

The Greek philosopher and mathematician Pythagoras noticed the relationship and is credited with the proof of this property known as the Pythagorian Theorem or the Pythagorian Property.

Греческий философ и математик Пифагор нашел это отношение; считают, что именно он доказал свойство, известное как теорема Пифагора.

If each side of a right triangle is used as a side of a square, the sum of the areas of the two smaller squares is the same as the area of the largest square.

Если каждая сторона прямоугольного треугольник является стороной квадрата, то сумма площадей двух малых квадратов равна площади большого квадрата.

Proof of the Pythagorean Theorem

Доказательство теоремы Пифагора

We should like to show that the Pythagorean Property is true for all right triangles there being several proofs of this property.

Мы хотели бы показать, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников. Существует несколько способов доказательства этой теоремы.

Let us discuss one of them.

Давайте обсудим один из них.

Before giving the proof let us state the Pythagorean Property in mathematical language.

Прежде чем доказывать, давайте запишем теорему Пифагора на языке математики.

In the triangle below, "c” represents the measure of the hypotenuse and "a” and "b” represent the measure of the other two sides.

На треугольнике ниже с – длина гипотенузы, а и b – длины двух других сторон.

If we construct squares on the three sides of the triangle, the area – measure will be a², b², c². Then the Pythagorean Property could be stated as follows.

Если мы построим квадраты на трех сторонах треугольника, их площади будут равны a², b², c². В этом случае теорема Пифагора будет записываться так:

c² = a² + b².

This proof will involve working with areas.

Это доказательство предполагает работу с площадями.

To prove that c² = a² + b² for the triangle above, construct two squares each side of which has a measure a + b as shown below.

Чтобы доказать, что c² = a² + b² для треугольника, расположенного выше на рисунке, построим два квадрата, стороны которых равны сумме а+b.

Separate the first of the two squares into two squares and two rectangles as shown. Its total area is the sum of the areas of the two squares and the two rectangles.

Разделите первый из двух квадратов на два квадрата и два прямоугольника, как показано. Его полная площадь представляет собой сумму площадей двух квадратов и двух прямоугольников.

A = a² + 2ab + b².

In the second of the two squares construct four right triangles congruent to the original triangle. Then the hypotenuse has a measure "c”.

Во втором из двух квадратов постройте четыре прямоугольных треугольник, равных исходному треугольнику. В этом случае величина гипотенузы составляет с.

It can be shown that PQRS is a square and its area is c².

Можно показать, что PQRS – квадрат и его площадь равна с².

The total area of the second square is the sum of the areas of the four triangles and the square PQRS. A = c² + 4(1/2ab).

Общая площадь второго квадрата представляет собой сумму площадей четырех треугольников и квадрата PQRS. A = c² + 4(1/2ab).

The two squares being congruent to begin with, their area measures are the same.

Так как два квадрата равны, их площади тоже равны.

Hence we may conclude the following:

Итак, можно сделать следующий вывод:

a² + 2ab + b² = c² + 4(1/2ab)

(a² + b²) + 2ab = c² + 2ab.

By subtracting 2ab from both area measures we obtain a² + b² = c² which proves the Pythagorean Property for all right triangles.

Вычтя величину 2ab из величины площадей обоих квадратов, мы получим выражение a² + b² = c², которое доказывает теорему Пифагора для всех случаев прямоугольных треугольников.

4. Найдите в тексте синонимы следующих слов и словосочетаний.

to find – to discover

to be a success – to succeed

to illustrate – we should like to show

to state – to formulate (?)

whole, entire – total

first or earliest – to begin with

to arrive at a judgment – we may conclude

to take 2 from 10 – to subtract 2 from 10

to get – to obtain

to show beyond all doubt – no doubt (?)

to be true – to be correct (?)

5. Выпишите из текста предложения, в которых употреблена конструкция «абсолютный причастный оборот».

1. The Greeks succeeded in finding other sets of three numbers which gave right triangles and were able to tell without drawing the triangles which would be right triangles, their method being as follows.

2. We should like to show that the Pythagorean Property is true for all right triangles there being several proofs of this property.

3. The two squares being congruent to begin with, their area measures are the same.

6. Найдите в тексте английские эквиваленты следующих слов и словосочетаний:

1)      сформулировать теорему – to state a theorem

2)      построим – let’s construct

3)      общая площадь – total area

4)      следовательно - hence

5)      это свойство справедливо для всех прямоугольных треугольников – the property is true for all right triangles

6)      можно сделать вывод – we may conclude

7)      прежде чем давать доказательство – before giving the proof

8)      нам бы хотелось – we should like

9)      это свойство можно сформулировать следующим образом – the property could be stated as follows

10)  если посмотреть на эту иллюстрацию – if you look at the illustration

11)  это можно выразить следующим образом – it could be stated as follows.

7. Сгруппируйте следующие слова по частям речи.

1. Discover, discovery, discovered, discovering;
2. length, long, lengthen;
3. form, formation, formed;
4. succeed, success, successful;
5. illustration, illustrate, illustrative, illustrating;
6. compare, comparison, comparable, comparative, comparatively;
7. proof, prove, proven;
8. true, truth, truthful, truthless;
9. discuss, discussion;
10. involve, involvement, involved;
11. construct, constructive, construction
12. congruent, congruence.

Exercises to be continued