Whole numbers

I.                   Прочтите следующие слова:

summarize, associative, composite, concrete, specific, measure, subtract, arithmetic, dimension, calculation.

2. Прочтите текст и выделите основные темы его содержания.

3. Прочтите текст и составьте к нему 5-6 тезисов (письменно, на русском языке).

4. Прочтите текст, отметьте места (устно, на родном языке), иллюстрирующие основные положения.

Whole numbers (целые числа)

Many statements in mathematics are concerned not with a single number but with a set of numbers that have some common property.

Многие утверждения в математике имеют отношение не к одному какому-то числу, а к множеству чисел, которые имеют какое-либо общее свойство.

Such a set is the set of even numbers 0, 2, 4, 6, … or the set of odd numbers 1, 3, 5, 7, …

Подобное множество – это множество четных чисел 0, 2, 4, 6,… или множество нечетных чисел 1, 3, 5, 7,…

What property is common to all even and odd numbers?

(Какое свойство является общим для всех четных и нечетных чисел?)

When you write 6x3=18 it means that you write number 18 as a product of two whole-number factors.

Когда вы пишете 6x3=18, это означает, что вы записываете число 18 как произведение двух множителей, являющихся целыми числами.

Another pair of whole-number factors will be 9 and 2, since 9 x 2=18.

Другая пара целых множителей будет 9 и 2, т.к. 9 x 2=18.

Will you be able to name other factors of 18?

Сможете ли вы назвать другие множители, с помощью которых можно представить 18?

Since 6 x 3 = 3 x 6 let us agree to call 6 and 3 just one pair of factors of 18.

Так как 6 x 3 = 3 x 6, договоримся называть 6 и 3 одной парой множителей для числа 18.

When you use 0 as one of the factors, what should the product be?

Когда вы используете 0 в качестве одного из множителей, каков будет результат?

That is, 0 times 5 equals what number? Or 7 times 0 equals what number?

Так, 0 умножить на 5 равняется какому числу? Или 7 умножить на 0 равняется какому числу?

The answers for these questions are summarized in the following statement. For any number a, a x 0 = 0 x a = 0.

Ответы на эти вопросы обобщенны в следующем утверждении. Для любого числа а  a x 0 = 0 x a = 0.

In some cases when we have to name a whole number in factoral name more than two factors can be used.

В некоторых случаях, когда мы должны представить целое число как произведение, более двух множителей может быть использовано.

We can, for example, name 60 as the product of 3 factors.

Мы можем, например, представить 60 как результат перемножения трех множителей.

Since multiplication is associative, we know that (3x4)x5 = 3x4x5 = 3 x (4x5) and so on.

Так как умножение обладает свойством ассоциативности, мы знаем, что (3x4)x5 = 3x4x5 = 3 x (4x5) и т.д.

Since a x 1 = a for any number a, we know that 1 is a factor of every whole number.

Так как a x 1 = a для любого числа а, мы знаем, что 1 – это множитель, входящий в состав любого целого числа.

Let us agree to omit 1 as a factor when naming a number in factored form.

Договоримся опускать множитель 1 при представлении числа в виде произведения множителей.

In each of the above equations the same set of factors is used, namely, 3, 4 and 5.

В каждом из выше приведенных равенств одинаковый набор множителей используется, а именно, 3, 4 и 5.

Regardless of the order in which they are written, 3, 4 and 5 should be considered just as one set of three factors of 60.

Независимо от порядка, в котором они написаны, 3, 4 и 5 должны рассматриваться как один набор трех множителей, составляющих число 60.

Also 60 can be written as the product of four factors as shown in the equation 60 = 3 x 2 x 2 x 5.

Также 60 можно представить как произведение четырех множителей, как показано в равенстве 60 = 3 x 2 x 2 x 5.

You may have noticed that some of the factors you used could be factored further and others could not.

Возможно, вы заметили, что некоторые множители, которые вы использовали, могут быть разложены дальше, а другие не могут.

In the equation 18 = 6 x 3, the factor 6 can in turn be written as 3 x 2.

В равенстве 18 = 6 x 3 множитель 6 может быть, в свою очередь, записан как 3 х 2.

If you do this, you will get 18 = 2 x 3 x 3.

Если вы сделаете это, вы получите 18 = 2 x 3 x 3.

None of these three factors can be written in factored form if you do not use 1 as a factor.

Ни один из этих трех множителей не может быть представлен в виде множителей, если только вы не используете 1 в качестве множителя.

Hence 2 x 3 x 3 is the form containing the smallest factors of 18.

Таким образом, 2 x 3 x 3  - это вид числа, содержащий наименьшие множители числа 18.  

You will be able to do the same with an odd number, say 105, where 105 = 3 x 35 = 5 x 7 x 3.

Вы сможете сделать то же самое с нечетным числом, например 105, где 105 = 3 x 35 = 5 x 7 x 3.

You already know that every whole number has 1 and itself as a factor.

Вы уже знаете, что каждое целое число можно представить в виде произведения 1 на само это число.

That is 9 x 1 = 9 and 11 x 1 = 11.

Так, 9 x 1 = 9 и 11 x 1 = 11.

Some such numbers have only 1 and themselves as a factor.

Некоторые такие числа имеют только 1 и себя как множитель.

Since its only factors are 1 and 5, 5 is such a factor.

Так как единственными множителями являются 1 и 5, 5 – такой множитель.

A whole number is called a prime number, or just a prime if:

Целое число называется простым числом, если

a)      it is greater than 1.

b)      its only factors are 1 and itself.

оно больше 1.

оно делится только на 1 и себя.

Any whole number other than 0 or 1 which is not a prime number is called a composite number, or just a composite.

Любое целое число, отличное от 0 или 1, не являющееся простым числом, называется составным числом.

Two numbers which have no factor in common except unity are called relatively prime numbers or co-prime numbers.

Два числа, не имеющие общих делителей, за исключением единицы, называются относительными простыми числами, или взаимно простыми числами.

If a number is applied to specific counted or measured things, objects, or quantities, as 7 books, 5 pencils, a length of 4 ½ feet, a weight of 175 pounds, a value of 5. 25 dollars, etc., the number is said to be a concrete or sometimes a denominate number.

Если число применяется для подсчета или измерения вещей, объектов, количеств (например, 7 книг, 5 карандашей, длина 4,5 фута, вес 175 фунтов, стоимость 5,25 долларов, и т.д.) говорят, что число конкретное; иногда такое число называют размерным.

When numbers do not so apply to things they are called abstract numbers. Thus numbers at random used in counting, adding, subtracting, etc., as 1, 2, 3, 4, 5 or 4275 + 982 = 5257, ½ x 4496 = 2248, etc., are abstract numbers.

Когда числа не применяются таким образом (т.е. для подсчета или измерения) к вещам, они называются абстрактными числами. Так, любые числа, используемые при счете, сложении, вычитании и т.д., как 1, 2, 3, 4, 5 или 4275 + 982 = 5257, ½ x 4496 = 2248 и т.д. являются абстрактными числами.

Abstract numbers, numbers used simply as numbers, are studied and used in all the rules of pure arithmetic.

Абстрактные числа, т.е. числа, используемые просто как числа, изучаются и используются во всех правилах чистой арифметики.

Concrete numbers used in counting and measuring things, dimensions, values, etc., are used in the applications of arithmetic to solve problems, in the calculations of shop work, business, science, etc.

Конкретные числа, служащие при счете и для измерения размеров вещей, стоимости и т.д. используются в прикладной арифметике для решение задач, при расчетах в магазинах, бизнесе, науке и т.д.

Summary

1. Many statements in mathematics are not about a single number but about a set of numbers which have some common property.

2. For example, a set of even numbers and a set of odd numbers.

3. You can write all whole numbers as a product of whole-number factors.

4. The product of 0 and any factor is 0.

5. We call a whole number a prime number if 1) it is greater than 1 and 2) its only factors are 1 and itself.

6. Any whole number which is not a prime number is a composite number.

7. If we use a number to count or measure things, this number is concrete.

8. Numbers which we use in arithmetic to add, subtract are abstract. 8.

Exercises to the Text